Theo công thức tính diện tích hình phẳng, ta có

$\alpha =\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left| \frac{\cos x+\sin x}{\sqrt{3+\sin 2x}} \right|dx}=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left( \frac{\cos x+\sin x}{\sqrt{3+\sin 2x}} \right)dx}$

$=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left( \frac{\cos x+\sin x}{\sqrt{4-{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}}} \right)}dx$

Đặt $\sin x-\cos x=2\sin t\Rightarrow \left( \cos x+\sin x \right)dx=2\cos tdt$

Đổi cận $x=0\Rightarrow t=\frac{-\pi }{6};x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=\frac{\pi }{6}$

Suy ra

$\alpha =\int_{\frac{-\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}{\frac{2\cos tdt}{\sqrt{4-4{{\sin }^{2}}t}}}=\int_{\frac{-\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}{\frac{2\cos t}{2\sqrt{{{\cos }^{2}}t}}dt}=\int_{\frac{-\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}{dt}=\left. t \right|_{\frac{-\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}=\frac{\pi }{3}$Vậy $\cos \alpha =\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$. Ta chọn phương án A.

Đây là một dạng toán khá mới lạ, là sự kết hợp của ứng dụng tích phân và lượng giác.

Ngoài ra quý đọc giả có thể bấm máy tính cũng đi đến kết quả như tôi đã phân tích ở trên.