Gọi $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$, suy ra

$z-2i=a+\left( b-2 \right)i$ là số thực khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{align}  & a\ne 0 \\  & b-2=0 \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a\ne 0 \\  & b=2 \\ \end{align} \right.\Rightarrow z=a+2i,a\ne 0$

Mặt khác,

$\begin{align}  & \left| z-\left( i+1 \right) \right|=1\Leftrightarrow \left| a-1+i \right|=1 \\  & \Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}+1=1\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}=0 \\ \end{align}$

$\Leftrightarrow a=1$ (nhận)

Vậy $z=1+2i\Rightarrow \overline{z}=1-2i$. Ta chọn phương án B.