Giả sử xét hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD và các mặt bên là các tam giác cân tại S, hình chiếu S lên mặt đáy trùng với giao điểm F của AC và BD.

Vì tổng diện tích các mặt bên gấp đôi diện tích mặt đáy nên $4{{S}_{SAB}}=2{{S}_{ABCD}}$.

Hay $4.\frac{1}{2}l.a=2{{a}^{2}}$, suy ra $l=a$ (với l là độ dài đường cao AL của tam giác SAB)

Ta tính được độ dài đường cao

$SF=\sqrt{S{{L}^{2}}-L{{F}^{2}}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Vậy ${{S}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}SF.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.{{a}^{2}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.

Ta chọn phương án A.

Sai lầm thường gặp: Nhầm lẫn hình chóp tứ giác đều và hình chóp đều nên tính nhầm độ dài đường cao của hình chóp hoặc biến đổi nhầm hệ thức $4{{S}_{SAB}}=2{{S}_{ABCD}}$ dẫn đến việc chọn đáp án B hay D.