Vì các mặt (SAD) và (SAB) vuông góc với đáy nên $SA\bot \left( ABCD \right)$.

Ta có $\left\{ \begin{align}  & BC\bot SA \\  & BC\bot AB \\ \end{align} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot SB$

$\Rightarrow \widehat{\left( \left( SBC \right);\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{SBA}={{45}^{0}}$.

Ta tính được $SA=2a.\tan {{45}^{0}}=2a$.

Vì $CD//AB$ nên

$d\left( AB;SC \right)=d\left( AB;\left( SCD \right) \right)=d\left( A;\left( SCD \right) \right)$.

Để ý thấy $CD\bot \left( SAD \right)$ hay $CD\bot SD$,

kết hợp dựng $AH\bot SD$, suy ra $CD\bot AH$.

Do đó $AH\bot \left( SCD \right)$. Do đó $d\left( AB;SC \right)=AH$.

Ta có $AH.SD=SA.AD\Rightarrow AH=2a\frac{\sqrt{5}}{5}$

Ta chọn phương án D.