Phương trình tham số đường thẳng d đi qua điểm $M$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ là $d:\left\{ \begin{align}  & x=1+2t \\  & y=-1-t \\  & z=2+2t \\ \end{align} \right.$

Ta sẽ tìm hình chiếu H của điểm M trên mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$, khi đó H là trung điểm của $MM'$, từ đó ta có thể dễ dàng tìm được tọa độ điểm $M'$ thông qua điểm H và M.

Gọi điểm $H\left( 1+2t;-1-t;2+2t \right)$ thuộc đường thẳng d và mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$.

Do đó $2\left( 1+2t \right)+\left( 1+t \right)+2\left( 2+2t \right)+12=0$ suy ra $t=-\frac{19}{9}$ nên $H\left( -\frac{29}{9};\frac{10}{9};-\frac{20}{9} \right)$.

Vì H là trung điểm $MM'$ suy ra

$M'\left( -\frac{67}{9};\frac{29}{9};-\frac{58}{9} \right)$. Ta chọn phương án A.