Ta có:

$\begin{align}  & z-\overline{z}={{z}^{2}}\Leftrightarrow \left( a+bi \right)-\left( a-bi \right)={{\left( a+bi \right)}^{2}} \\  & \Leftrightarrow 2bi=\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)+2abi \\ \end{align}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=0 \\  & 2b=2ab \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & a=b=0 \\  & b=1;a=\pm 1 \\ \end{align} \right.$

$\Rightarrow z=0;z=1\pm i$

Vậy đáp án đúng là D.