Ta có $f\left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{x}}$, lấy logarit nepe hai vế ta được $\ln f\left( x \right)=\ln {{\left( x+1 \right)}^{x}}\Leftrightarrow \ln f\left( x \right)=x\ln \left( x+1 \right)$.

Lấy đạo hàm hai vế ta được

$\frac{f'\left( x \right)}{f\left( x \right)}=\ln \left( x+1 \right)+\frac{x}{x+1}$,

hay $f'\left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{x}}.\left[ \ln \left( x+1 \right)+\frac{x}{x+1} \right]$.

Ta chọn phương án A.