Ta tính được

$y'\left( x \right)=\frac{2x\left( x+1 \right)-\left( {{x}^{2}}+1 \right)}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}+2x-1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}$

Khi đó

$\left\{ \begin{align}  & y'\left( x \right)=0 \\  & x\in \left[ 1;2 \right] \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{x}^{2}}+2x-1=0 \\  & x\in \left[ 1;2 \right] \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x=-1\pm \sqrt{2} \\  & x\in \left[ 1;2 \right] \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow x\in \left[ 1;2 \right]$

Mặt khác ta có $y\left( 1 \right)=1$ và $y\left( 2 \right)=\frac{5}{3}$.

Do đó $Q=\frac{5}{3}$và $K=1$.

Vậy $\frac{24Q+27K}{2}-1997=-\frac{3927}{2}$.

Ta chọn phương án C.