Ta tính được $f'\left( x \right)=\frac{\frac{1}{x}.x-\ln x}{{{x}^{2}}}=-\frac{\ln x-1}{{{x}^{2}}}$.

Khi đó $\left\{ \begin{align}  & f'\left( x \right)=0 \\  & x\in \left[ 1;3 \right] \\ \end{align} \right.$.$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \ln x=1 \\  & x\in \left[ 1;3 \right] \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=e$

Ta có $f\left( 1 \right)=0,f\left( e \right)=\frac{1}{e}$và $f\left( 3 \right)=\frac{\ln 3}{3}$

Vậy $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=f\left( e \right)=\frac{1}{e}$.

Ta chọn phương án A.