Phân tích: Hàm số đạt cực tiểu tại điểm ${{x}_{0}}$ khi và chỉ khi dấu $f'\left( {{x}_{0}} \right)$ chuyển từ âm sang dương (đối với cực đại thì ngược lại chuyển từ dương sang âm). Với lý thuyết này, ta có:

$\begin{align}  & y'=4{{x}^{3}}+4\left( m+1 \right).3{{x}^{2}}+\left( m+2 \right)x \\  & \Rightarrow y'=4x\left[ {{x}^{2}}+3\left( m+1 \right)x+\left( m+2 \right) \right] \\ \end{align}$

$y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & {{x}^{2}}+3\left( m+1 \right)x+m+2=0\left( * \right) \\ \end{align} \right.$

Như vậy, để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại thì chỉ xảy ra một trong hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: Phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.

$\begin{align}  & \Delta =9{{\left( m+1 \right)}^{2}}-4\left( m+2 \right)\le 0 \\  & \Leftrightarrow \Delta =9{{m}^{2}}+14m+1\le 0 \\ \end{align}$

$\Leftrightarrow \frac{-7-2\sqrt{10}}{9}\le m\le \frac{-7+2\sqrt{10}}{9}$

Trường hợp 2: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, đồng thời một trong hai nghiệm đó phải bằng 0.

$\left\{ \begin{align}  & \Delta '>0 \\  & {{0}^{2}}+3\left( m+1 \right)0+m+2=0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m=-2$

Vậy đáp án đúng phải là đáp án D.

Sai lầm thường gặp: Đa số học sinh chỉ nhìn ra trường hợp 1 của bài toán và sẽ thu được kết quả là A. Một số khác vừa không nhìn được trường hợp 2, lại còn nhầm dấu của bất phương trình (trong trường hợp 1) nên sẽ nhầm sang đáp án B. Có nhiều em do quá vội vàng sẽ chỉ cho chỉ cần (*) vô nghiệm là đủ và cho ngay đáp án C. Bài toàn này “lừa” học sinh ở chỗ là rất ít người nghĩ được trường hợp 2.