Gọi H là tâm tam giác đều BCD. E là trung điểm CD. Ta có AH

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a. Một mặt cầu tiếp xúc với các mặt của tứ diện có bán kính là:$AH\bot (BCD)$

Gọi I, r là tâm và bán kính mặt cầu tiếp xúc với các mặt cầu tiếp xúc với các mặt của tứ diện ABCD thì I là giao của AH và phân giác góc AEB của $\Delta AEB$. Ta có

$\begin{align}  & AE=BE=\frac{a\sqrt{3}}{2};HE=\frac{BE}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{6} \\  & AH=\sqrt{A{{E}^{2}}-H{{E}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{3} \\ \end{align}$

Áp dụng tính chất đường phân giác:

$\begin{align}  & \frac{IH}{IA}=\frac{EH}{EA}\Rightarrow \frac{IH}{IH+IA}=\frac{EH}{EH+EA} \\  & \Rightarrow r=IH=\frac{EH.AH}{EH+EA}=\frac{a\sqrt{6}}{12} \\ \end{align}$

Chọn A