Phương trình đường tròn là: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=3$. Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{align}   & y=\frac{{{x}^{2}}}{2} \\  & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=3 \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & y=\frac{{{x}^{2}}}{2} \\  & {{x}^{2}}+\frac{{{x}^{4}}}{4}=3 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & y=\frac{{{x}^{2}}}{2} \\  & \frac{{{x}^{2}}}{2}+1=2 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & y=\frac{{{x}^{2}}}{2} \\  & {{x}^{2}}=2 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow A\left( -\sqrt{2};1 \right);B\left( \sqrt{2};1 \right)$

Diện tích được giới hạn bởi parabol với đường tròn là:

${{S}_{1}}=\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}{\left( \sqrt{3-{{x}^{2}}}-\frac{{{x}^{2}}}{4} \right)dx}=\frac{2\sqrt{2}}{3}+3\arcsin \left( \sqrt{\frac{2}{3}} \right)$

Diện tích đường tròn là:

$\begin{align}  & S={{S}_{1}}+{{S}_{2}}=\pi {{R}^{2}}=3\pi  \\  & \Rightarrow {{S}_{2}}=3\pi -3\arcsin \left( \sqrt{\frac{2}{3}} \right)-\frac{2\sqrt{2}}{3} \\ \end{align}$

Do đó, ${{S}_{1}}<{{S}_{2}}\Rightarrow \frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}+3\arcsin \left( \sqrt{\frac{2}{3}} \right)}{3\pi -3\arcsin \left( \sqrt{\frac{2}{3}} \right)-\frac{2\sqrt{2}}{3}}$

Vậy đáp án đúng là B.