Kiểm tra tổng quát các công thức tích phân, lưu ý rằng nếu với mọi hàm $f\left( x \right)$ thì hầu hết những khẳng định sau xảy ra:

$\int_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|dx}\ne \left| \int_{a}^{b}{f\left( x \right)dx} \right|\left( 1 \right)$;

$\int_{a}^{b}{{{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}dx}\ne {{\left( \int_{a}^{b}{f\left( x \right)dx} \right)}^{2}}\left( 2 \right)$;

$\int_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|dx\ne \int_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}\left( 3 \right)}$

Khẳng định (1) xảy ra dấu “=” khi khi $f\left( x \right)$ không đổi dấu.

Khẳng định (3) xảy ra dấu “=” khi khi $f\left( x \right)\ge 0$.

Khẳng định (2) xảy ra dấu “=” khi điều kiện phức tạp không muốn nêu (ai thích tìm hiểu có thể tìm trên internet là bất đẳng thức Bunhiacopski dạng tích phân), nhưng thực sự nó không cần thiết cho kì thi đại học. Vấn đề ở đây là ta có thể lấy ví dụ $f\left( x \right)={{x}^{2}}$ thì rõ ràng không xảy ra dấu “=”.

Khi đó dễ dàng kiểm tra chỉ có khẳng định C là đúng bởi vì:

$\begin{align}  & \int_{0}^{1}{f\left( \left| x \right| \right)}dx=\int_{0}^{1}{f\left( x \right)}dx=\int_{0}^{1/2}{f\left( x \right)dx}+\int_{1/2}^{1}{f\left( x \right)dx} \\  & =2\int_{0}^{\sqrt{2}/2}{xf\left( {{x}^{2}} \right)dx}-\int_{1}^{1/2}{f\left( x \right)dx} \\ \end{align}$

Vậy đáp án đúng là C.