Có $y=\frac{2mx+1}{m-x}\Rightarrow y'=\frac{2{{m}^{2}}+1}{{{\left( m-x \right)}^{2}}}>0,\forall x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}$nên hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định của nó

Nếu $m\in \left( 2;3 \right]$ thì hàm số không có giá trị lớn nhất trên đoạn $\left[ 2;3 \right]$

Nếu $m\notin \left( 2;3 \right]$ thì giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\left[ 2;3 \right]$là $y\left( 3 \right)=\frac{6m+1}{m-3}=-\frac{1}{3}\Leftrightarrow m=0$

Chọn C