Khẳng định 1 và 4 là hai khẳng định tương đương, đồng thời ta có:

$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 0 \right)=0$

Do đó, khẳng định 1 và 4 là đúng.

Hàm số có đạo hàm tại 0 không? Câu trả lời là không, bởi vì:

$\begin{align}  & f'\left( {{0}^{+}} \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-2x}{x}=-2 \\  & f'\left( {{0}^{-}} \right)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{\sin \left( \frac{x}{2} \right)}{\frac{x}{2}}.\frac{1}{2} \right)=\frac{1}{2} \\ \end{align}$

Khẳng định 2 là sai.

Hàm số có đạt cực tiểu tại 0 không? Câu trả lời là có, bởi vì hàm số xác định trên $\mathbb{R}$ và liên tục trên $\mathbb{R}$ đồng thời đạo hàm của nó đổi dấu khi đi qua điểm 0.

$f'\left( x \right)=\left\{ \begin{align}  & -2;x>0 \\  & \frac{1}{2}\cos x;x<0 \\ \end{align} \right.$

Vậy đáp án đúng là A.