Đáp án A sai vì khẳng định đúng phải là: $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$ là tập xác đinh của hàm số.

Đáp án D sai vì tâm đối xứng của đồ thị hàm số là giao hai tiệm cận và điểm đó phải là $\left( 1;1 \right)$.

Bây giờ, ta chỉ còn phân vân giữa đáp án B và C.

Ta có:

$y'=-\frac{2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\Rightarrow y''=\frac{4}{{{\left( x-1 \right)}^{3}}}$

$y''<0\Leftrightarrow x<1$

Vậy đáp án đúng là đáp án C.