Ta có:

$\begin{align}  & \int{{{e}^{x}}\cos xdx}={{e}^{x}}\sin x-\int{{{e}^{x}}}\sin xdx \\  & \int{{{e}^{x}}\sin xdx}=-{{e}^{x}}\cos x+\int{{{e}^{x}}\cos xdx} \\ \end{align}$

Do đó ta có:

$\begin{align}  & \int{{{e}^{x}}\cos xdx}={{e}^{x}}\sin x+{{e}^{x}}\cos x-\int{{{e}^{x}}\cos xdx} \\  & \Rightarrow \int{{{e}^{x}}\cos xdx}=\frac{1}{2}{{e}^{x}}\left( \cos x+\sin x \right) \\ \end{align}$

Vậy đáp án đúng là A.

Lỗi sai thường gặp: Một số học sinh do không chắc kiến thức nên cứ có ${{e}^{x}}$ thì cứ coi tích phân và đạo hàm không đổi nên nhầm ngay ra đáp án B. Đáp án D cũng có một số học sinh nhầm bởi phép thế không đổi dấu hoặc sai cơ bản về tích phân lượng giác.