Điều kiện $x>0$

+ với $m=0$, phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất $x=1$

+ Với $m>0$, xét hàm số $f\left( x \right)=m{{x}^{4}}-\ln x=0$ trên $\left( 0;+\infty  \right)$, ta có với $x>0$ thì

$f'\left( x \right)=4m{{x}^{3}}-\frac{1}{x}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt[4]{4m}};f'\left( x \right)<0\Leftrightarrow 00\Leftrightarrow x>\frac{1}{\sqrt[4]{4m}}$

Mặt khác $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\infty ;\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\infty $ nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi nghiệm đó chính là $x=\frac{1}{\sqrt[4]{4m}}$. Ta có

 $f\left( \frac{1}{\sqrt[4]{4m}} \right)=0\Leftrightarrow m.\frac{1}{4m}-\ln \frac{1}{\sqrt[4]{4m}}=0\Leftrightarrow \frac{1}{4}\ln \left( 4m \right)=-\frac{1}{4}\Leftrightarrow \ln \left( 4m \right)=-1\Leftrightarrow m=\frac{1}{4e}$

( + Với m < 0, phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất)

Chọn A