Phương pháp:

Điều kiện để hàm số f(x) đồng biến (nghịch biến) trên ℝ

+ f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$

+ f(x) có đạo hàm $f'\left( x \right)\ge 0\left( \le 0 \right)\forall x\in \mathbb{R}$ và số giá trị x để $f'\left( x \right)=0$ là hữu hạn

Do y' là một tam thức bậc 2 nên ta sử dụng kiến thức: $a{{x}^{2}}+bx+c\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a>0 \\  & \Delta \le 0 \\ \end{align} \right.,\forall x\in \mathbb{R}$

Cách giải:

Ta có: $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+m{{\text{x}}^{2}}+x+1$

$\Rightarrow y'={{x}^{2}}+2mx+1$

Ta có: Hàm số đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi

$y'\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2mx+1\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 1>0\,\left( tm \right) \\  & \Delta '={{m}^{2}}-1\le 0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow -1\le m\le 1$

Chọn đáp án B