Nhận thấy ${{x}^{3}}+x,{{e}^{x}},\sqrt{x}$ là các hàm số đồng biến trên ${{\mathbb{R}}^{+}}$ nên $f\left( x \right)=\left( {{x}^{3}}+x \right).{{e}^{x}}.\sqrt{x}-2e$ là hàm số đồng biến trên ${{\mathbb{R}}^{+}}$, suy ra phương trình đã cho có tối đa 1 nghiệm.

Mặt khác $f\left( x \right)=\left( {{x}^{3}}+x \right).{{e}^{x}}.\sqrt{x}-2e$ liên tục trên ${{\mathbb{R}}^{+}}$và $f\left( \frac{1}{2} \right).f\left( \frac{3}{2} \right)<0$ nên phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $\left( \frac{1}{2};\frac{3}{2} \right)$, ta cũng có thể nhẩm chính xác nghiệm $x=1$, hay $f\left( 1 \right)=0$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $x=1$.