Điều kiện $x>0$. Phương trình đã cho tương đương với $\frac{1}{2}{{.4}^{\lg \left( 4x \right)}}+{{3.4}^{\lg \left( 4x \right)}}={{7}^{\lg \left( 4x \right)}}+{{7}^{\lg \left( 4x \right)}}.\frac{1}{7}$

$\begin{align}  & \Leftrightarrow {{\left( \frac{4}{7} \right)}^{\lg \left( 4x \right)}}=\frac{1+\frac{1}{7}}{\frac{1}{2}+3}=\frac{16}{49}={{\left( \frac{4}{9} \right)}^{2}}\Leftrightarrow \lg \left( 4x \right)=2 \\  & \Leftrightarrow x=25 \\ \end{align}$

So ĐKXĐ ta được nghiệm duy nhất $x=25$.

Suy ra ${{x}^{2}}={{25}^{2}}=625$.