Điều kiện $x,y>0$.

Ta có ${{\log }_{3}}\left( {{\log }_{2}}x \right)+{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( {{\log }_{\frac{1}{2}}}y \right)=1$ tương đương với ${{\log }_{3}}\left( {{\log }_{2}}x \right)-{{\log }_{3}}\left( -{{\log }_{2}}y \right)=1$

$\begin{align}  & \Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{\log }_{2}}x \right)-{{\log }_{3}}\left( -{{\log }_{2}}y \right)=1 \\  & \Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( \frac{{{\log }_{2}}x}{{{\log }_{2}}\frac{1}{y}} \right)=1\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x=3{{\log }_{2}}\frac{1}{y} \\  & \Leftrightarrow x=\frac{1}{{{y}^{3}}}\Leftrightarrow x{{y}^{3}}=1 \\ \end{align}$

Kết hợp với $x{{y}^{2}}=4$ được $\left\{ \begin{align}  & x{{y}^{3}}=1 \\  & x{{y}^{2}}=4 \\ \end{align} \right.$.

Vì $x,y>0$ nên chia theo từng vế ta được $\frac{1}{y}=4\Leftrightarrow y=\frac{1}{4}$, do đó $x=64$.

Suy ra $126{{x}^{2}}+{{y}^{3}}={{126.64}^{2}}+{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{3}}\approx 516096,0156$