Điều kiện $x\ge \frac{1}{{{e}^{2}}}$. Ta có

$\begin{align}  & \sqrt{6\left( {{\left( \ln x \right)}^{2}}+2\ln x+4 \right)}-2\left( \ln x+2 \right) \\  & =\frac{2\left( {{\left( \ln x \right)}^{2}}-2\ln x+4 \right)}{\sqrt{6\left( {{\left( \ln x \right)}^{2}}+2\ln x+4 \right)}+2\left( \ln x+2 \right)}>0,\forall x\ge \frac{1}{{{e}^{2}}} \\ \end{align}$

Do đó bất phương trình đã cho trở thành

$\begin{align}  & 2\left( \sqrt{\ln x+2}-2 \right)\ge \sqrt{6\left( {{\left( \ln x \right)}^{2}}+2\ln x+4 \right)}-2\left( \ln x+2 \right) \\  & \Leftrightarrow 2\sqrt{\ln x+2}+2\ln x\ge \sqrt{12\left( \ln x+2 \right)+6{{\left( \ln x \right)}^{2}}}\left( 1 \right) \\ \end{align}$

Nhận xét $x=\frac{1}{{{e}^{2}}}$ không là nghiệm của bất phương trình.

Khi $x>\frac{1}{{{e}^{2}}}$, chia hai vế bất phương trình (1) cho $\sqrt{\ln x+2}>0$, ta được

$2+\frac{2\ln x}{\sqrt{\ln x+2}}\ge \sqrt{12+6{{\left( \frac{\ln x}{\sqrt{\ln x+2}} \right)}^{2}}}$

Đặt $t=\frac{\ln x}{\sqrt{\ln x+2}}$, bất phương trình trở thành

$2+2t\ge \sqrt{12+6{{t}^{2}}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 2+2t\ge 0 \\  & 4+8t+4{{t}^{2}}\ge 12+6{{t}^{2}} \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & t\ge -1 \\  & 2{{\left( t-2 \right)}^{2}}\le 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow t=2$

Với $t=2$ thì $\frac{\ln x}{\sqrt{\ln x+2}}=2$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \ln x>0 \\  & {{\left( \ln x \right)}^{2}}-4\ln x-8=0 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \ln x=2+2\sqrt{3}\Leftrightarrow x={{e}^{2+2\sqrt{3}}}$ (nhận)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S=\left\{ {{e}^{2+2\sqrt{3}}} \right\}$.

Phương án B sai vì không có phần tử nào là số nguyên tố, phương án C sai vì “tồn tại duy nhất” chứ không phải “vô số”, phương án D sai vì phương trình có nghiệm.