Ta có

$\begin{align}  & I=\int_{e}^{{{e}^{2}}}{\frac{\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ln x+1}{x\ln x}dx}=\int_{e}^{{{e}^{2}}}{\frac{{{x}^{2}}\ln x+1+\ln x}{x\ln x}dx} \\  & =\int_{e}^{{{e}^{2}}}{\left( x+\frac{1}{x}+\frac{1}{x\ln x} \right)dx}=\int_{e}^{{{e}^{2}}}{\left( x+\frac{1}{x} \right)dx}+\int_{e}^{{{e}^{2}}}{\frac{1}{x\ln x}dx} \\ \end{align}$

Xét $M=\int_{e}^{{{e}^{2}}}{\left( x+\frac{1}{x} \right)dx}=\left. \left( \frac{{{x}^{2}}}{2}+\ln \left| x \right| \right) \right|_{e}^{{{e}^{2}}}=\frac{{{e}^{4}}-{{e}^{2}}}{2}+1$

Xét $N=\int_{e}^{{{e}^{2}}}{\frac{1}{x\ln x}dx}$, đặt $t=\ln x$, suy ra $dt=\frac{1}{x}dx$.

Đối cận $x=e\Rightarrow t=1$ và $x={{e}^{2}}\Rightarrow t=2$ ta được

$N=\int_{1}^{2}{\frac{dt}{t}}=\left. \left( \ln \left| t \right| \right) \right|_{1}^{2}=\ln 2-\ln 1=\ln 2$.

Vậy $I=\frac{{{e}^{4}}-{{e}^{2}}}{2}+1+\ln 2$.

Do đó $a=-b=c=d=1$.