Ta có $I=\int_{1}^{e}{\frac{x+1}{{{x}^{2}}}\ln xdx}=\int_{1}^{e}{\frac{1}{x}\ln xdx}+\int_{1}^{e}{\frac{1}{{{x}^{2}}}\ln xdx}$.

Xét $A=\int_{1}^{e}{\frac{1}{x}\ln xdx}=\int_{1}^{e}{\ln xd\left( \ln x \right)}=\left. \frac{1}{2}{{\ln }^{2}}x \right|_{1}^{e}=\frac{1}{2}$

và $B=\int_{1}^{e}{\frac{1}{{{x}^{2}}}\ln xdx}$, đặt $u=\ln x\Rightarrow du=\frac{1}{x}dx$

và $dv=\frac{1}{{{x}^{2}}}dt\Rightarrow v=-\frac{1}{x'}$, suy ra

$\begin{align}  & B=\left. -\frac{1}{x}\ln x \right|_{1}^{e}+\int_{1}^{e}{\frac{1}{{{x}^{2}}}dx}=-\left. \frac{1}{x}\ln x \right|_{1}^{e}-\left. \frac{1}{x} \right|_{1}^{e} \\  & =-\frac{1}{e}-\left( \frac{1}{e}-1 \right)=-\frac{2}{e}+1 \\ \end{align}$

Vậy $I=A+B=\frac{1}{2}-\frac{2}{e}+1=\frac{3}{2}-\frac{2}{e}$. Do đó $a=3$ và $b=2$, hay phương trình $3x+2=0$ có nghiệm duy nhất là $x=-\frac{2}{3}$.