Chọn: Đáp án A

+ Ta có: $y'(1)=9\Rightarrow $ phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$tại điểm $A(1;5)$là:

$y=9(x-1)+5\Leftrightarrow y=9x-4(d)$

+ Tọa độ điểm B là giao của d và $(C)$có hoành độ là nghiệm PT:

${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1=9x-4\Leftrightarrow {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-9x+5=0\Leftrightarrow {{(x-1)}^{2}}(x+5)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=1 \\ & x=-5 \\ \end{align} \right.$

Do $B\ne A$ nên $B(-5;-49)$. Ta có: $\overrightarrow{AB}=(-6;-54)\Rightarrow AB=6\sqrt{82};d(O,d)=\frac{4}{\sqrt{82}}$

Suy ra: ${{S}_{\vartriangle OAB}}=\frac{1}{2}d(O,d).AB=\frac{1}{2}.\frac{4}{\sqrt{82}}.6\sqrt{82}=12$(đvdt)