Chọn: Đáp án B

TXĐ $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{1}{2} \right\}.$

$\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,y=\frac{1}{2}$,  đồ thị có TCN $y=\frac{1}{2};\underset{x\to {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty ;\underset{x\to {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=-\infty $,  đồ thị hàm số có TCĐ $x=\frac{1}{2}$

$y'=-\frac{1}{{{(2x-1)}^{2}}}\Rightarrow y'<0,\forall x\in D.$

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( -\infty ;\frac{1}{2} \right),\left( \frac{1}{2};+\infty  \right)$.

Đồ thị nhận $I\left( \frac{1}{2};\frac{1}{2} \right)$ là tâm đối xứng, Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng $\frac{2}{3}$. Với ${{y}_{0}}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{{{x}_{0}}}{2{{x}_{0}}-1}=\frac{2}{3}\Rightarrow 4{{x}_{0}}-2=3{{x}_{0}}\Rightarrow {{x}_{0}}=2$

Ta có: $f'(x)=-\frac{1}{{{(2x-1)}^{2}}}\Rightarrow f'(2)=-\frac{1}{9}$

Vậy PT tiếp tuyến tại điểm $\left( 2;\frac{2}{3} \right)$là: $y=-\frac{1}{9}x+\frac{8}{9}$

Bình luận: Kiến thức cần nắm:

 * Đường thẳng $y={{y}_{0}}$ được gọi là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số$y=f(x)$ nếu $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y={{y}_{0}}$ hoặc $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y={{y}_{0}}$

* Đường thẳng$x={{x}_{0}}$  được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số $y=f(x)$nếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

                                         $\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty $                                             $\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,y=-\infty $

                                         $\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty $                                             $\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,y=-\infty $