Chọn: Đáp án D

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$ (do $\sin x+\cos x+3=\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi }{4})+3\ne 0,\forall x)$

$(*)\Leftrightarrow (y-1)\sin x+(y-2)\cos x=1-3y(**)$

Để phương trình (**) có nghiệm $x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow {{(y-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}\ge {{(1-3y)}^{2}}$

$\Leftrightarrow {{y}^{2}}-2y+1+{{y}^{2}}-4y+4\ge 1-6y+9{{y}^{2}}\Leftrightarrow 4-7{{y}^{2}}\ge 0$

$\Leftrightarrow -\frac{2}{\sqrt{7}}\le y\le \frac{2}{\sqrt{7}}$

Vậy: $\max y=\frac{2}{\sqrt{7}},\min y=-\frac{2}{\sqrt{7}}$

Bình luận: Nhắc lại điều kiện có nghiệm của phương trình: $A\sin x+B\cos x+C=0$ cos nghiệm là:

                                                 ${{A}^{2}}+{{B}^{2}}\ge {{C}^{2}}$