Chọn: Đáp án A

$\begin{align}  & F(x)=\int{\text{ }tanx(\text{ }2cotx-\sqrt{2}cosx+2co{{s}^{2}}x)dx=\int{(2-\sqrt{2}\sin x+\sin 2x)dx=}~}F(x)=2x+\sqrt{2}\cos x-\frac{\cos 2x}{2}+C \\  & F\left( \frac{\pi }{4} \right)=2.\frac{\pi }{4}+\sqrt{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}-0+C=\frac{\pi }{2}\Rightarrow C=-1 \\  &  \\ \end{align}$

Vậy $F(x)=2x+\sqrt{2}\cos x-\frac{\cos 2x}{2}-1$

Bình luận: Vì$F\left( \frac{\pi }{4} \right)=\frac{\pi }{2}$là giá cụ thể nên loại ngay B và D. Kết hợp máy tính cầm tay tính nhanh $F\left( \frac{\pi }{4} \right)$ với hai hàm F(x) ở A và C. Ta chọn được đáp án A.