Chọn: Đáp án A

Thể tích cái phễu là : V= $\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h$

Ta có chu vi đáy là: $2\pi r=Rx$

$\Rightarrow r=\frac{Rx}{2\pi },h=\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=\sqrt{{{R}^{2}}-\frac{{{R}^{2}}{{x}^{2}}}{4{{\pi }^{2}}}}=\frac{R}{2\pi }\sqrt{4{{\pi }^{2}}-{{x}^{2}}}$

Suy ra lúc này :

$V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{{{R}^{3}}{{x}^{2}}\sqrt{4{{\pi }^{2}}-{{x}^{2}}}}{24{{\pi }^{2}}}(0

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương ta có :

$\begin{align}  & V=\frac{\sqrt{3}{{R}^{3}}}{48{{\pi }^{2}}}.{{x}^{2}}.\frac{2}{\sqrt{3}}\pi \sqrt{4{{\pi }^{2}}-{{x}^{2}}}\le \frac{\sqrt{3}{{R}^{3}}}{2.48{{\pi }^{2}}}.{{x}^{2}}\left( \frac{4}{3}{{\pi }^{2}}+4{{\pi }^{2}}-{{x}^{2}} \right)=\frac{\sqrt{3}{{R}^{3}}}{2.48{{\pi }^{2}}}.{{x}^{2}}\left( \frac{16}{3}{{\pi }^{2}}-{{x}^{2}} \right) \\  & \le \frac{1}{8}\frac{\sqrt{3}{{R}^{3}}}{48{{\pi }^{2}}}.{{\left[ {{x}^{2}}+\left( \frac{16}{3}{{\pi }^{2}}-{{x}^{2}} \right) \right]}^{2}}=\frac{1}{8}\frac{\sqrt{3}{{R}^{3}}}{48{{\pi }^{2}}}.\frac{{{16}^{2}}}{9}{{\pi }^{4}}=\frac{2\sqrt{3}}{27}\pi {{R}^{3}} \\ \end{align}$

Dấu bằng có khi và chỉ khi $\left\{ \begin{align}   & \frac{2}{\sqrt{3}}\pi =\sqrt{4{{\pi }^{2}}-{{x}^{2}}} \\  & {{x}^{2}}=\frac{16}{3}{{\pi }^{2}}-{{x}^{2}} \\ \end{align} \right.<=>x=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\pi $

Suy ra thể tích khối nón đật giá trị lớn nhất đạt tại $x=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\pi $và GTLN đó là $\frac{2\sqrt{3}}{27}\pi {{R}^{3}}$