Giải :Pt hđ giao điểm : $\begin{align} & \frac{2x+3}{x-2}=2x+m,\left( x\ne 2 \right) \\ & \Leftrightarrow g\left( x \right)=2{{x}^{2}}+\left( m-6 \right)x-\left( 2m+3 \right)=0\begin{matrix} {} & \left( * \right)  \\ \end{matrix} \\ \end{align}$

Để (d ) cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt thì pt  có hai nghiệm phân biệt khác 2

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \Delta ={{m}^{2}}-12m+36+16m+24>0 \\ & g\left( 2 \right)=8+2m-12-2m-3\ne 0 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{m}^{2}}+4m+60>0 \\ & g\left( 2 \right)=-7\ne 0 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \forall m\in R$

Nên (d ) cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt tại $A\left( {{x}_{1}};2{{x}_{1}}+m \right)$ và $B\left( {{x}_{2}};2{{x}_{2}}+m \right)$

Có :$y'=\frac{-7}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}$

Vì tiếp tuyến của (C ) tại A và B song song ,nên :

$\begin{align} & f'\left( {{x}_{1}} \right)=f'\left( {{x}_{2}} \right);\left( {{x}_{1}}\ne {{x}_{2}} \right) \\ & \Leftrightarrow \frac{-7}{{{\left( {{x}_{1}}-2 \right)}^{2}}}=\frac{-7}{{{\left( {{x}_{2}}-2 \right)}^{2}}} \\ \end{align}$

$\begin{align} & \Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}-2 \right)}^{2}}-{{\left( {{x}_{2}}-2 \right)}^{2}}=0 \\ & \Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}-2-{{x}_{2}}+2 \right)\left( {{x}_{1}}-2+{{x}_{2}}-2 \right)=0 \\ \end{align}$

$\begin{align} & \Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=4 \\ & \Leftrightarrow \frac{-\left( m-6 \right)}{2}=4 \\ \end{align}$

$\Leftrightarrow m=-2$