Từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắt SA tại N $\Rightarrow AC//MN\Rightarrow AC//\left( BMN \right)$

$AC\bot AB,AC\bot SH\Rightarrow AC\bot \left( SAB \right)$,

$AC//MN\Rightarrow MN\bot \left( SAB \right)$

$\Rightarrow \left( BMN \right)\bot \left( SAB \right)$ theo giao tuyến BN.

Ta có:

$AC//\left( BMN \right)\Rightarrow d\left( AC,BM \right)=d\left( AC,\left( BMN \right) \right)=d\left( A,\left( BMN \right) \right)=AK$với K là hình chiếu của A trên BN.

$\frac{NA}{SA}=\frac{MC}{SC}=\frac{2}{3}$$\Rightarrow {{S}_{ABN}}=\frac{2}{3}{{S}_{SAB}}$$=\frac{2}{3}.\frac{{{3}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$(đvdt) và $AN=\frac{2}{3}SA=2$

$BN=\sqrt{A{{N}^{2}}+A{{B}^{2}}-2AN.AB.\cos {{60}^{0}}}$ $=\sqrt{7}$

$\Rightarrow AK=\frac{2{{S}_{ABN}}}{BN}=\frac{2.\frac{3\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{21}}{7}$

Vậy $d\left( AC,BM \right)=\frac{3\sqrt{21}}{7}$(đvđd)