Mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-6x+2y+8z+10=0$

Có tâm $I\left( 3;-1;-4 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{9+1+4-10}=2$

• Mặt phẳng $\left( P \right):2x-2y-z-3=0$ có vtpt $\overrightarrow{n}=\left( 2;-2;-1 \right)$

Tâm của đường tròn $\left( C \right)=\left( S \right)\cap \left( P \right)$ là hình chiếu vuông góc của I lên mp(P). Đường thẳng $\left( d \right)$ đi qua I và vuông góc với (P)

- Phương trình tham số của $\left( d \right):\left\{ \begin{align} & x=3+2t \\ & y=-1-2t \\ & z=-4-t \\ \end{align} \right.$

- Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align} & \left( P \right) \\  & \left( d \right) \\ \end{align} \right.$ ta có:

$\begin{align} & 2\left( 3+2t \right)-2\left( -1-2t \right)-\left( -4-t \right)-3=0 \\ & \Leftrightarrow 9t+9=0\Leftrightarrow t=-1 \\ \end{align}$

Vậy tâm của đường tròn $\left( C \right)$là $H\left( 1;1;-3 \right)$