Phương trình hoành độ giao điểm $x+m=\frac{x+1}{x-2}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\ne 2 \\ & {{x}^{2}}-2x+mx-2m=x+1 \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\ne 2 \\ & {{x}^{2}}-\left( m-3 \right)x-2m-1=0\,\,\,\,\,\,\,(1) \\ \end{align} \right.$

Đường thẳng $d:y=x+m$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{x-2}$ tại A,B phân biệt

(1) có 2 nghiệm phân biệt khác 2

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \Delta ={{\left( m-3 \right)}^{2}}-4\left( -2m-1 \right)>0 \\ & {{2}^{2}}+\left( m-3 \right).2-2m-1\ne 0 \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \Delta ={{m}^{2}}+2m+13>0 \\ & m\in \mathbb{R} \\  \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \Delta ={{\left( m+1 \right)}^{2}}+12>0 \\ & m\in \mathbb{R} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m\in \mathbb{R}\,\,\,\,(*)$Điểm  $A,B\in d\Rightarrow A\left( {{x}_{1}};m+{{x}_{1}} \right),\,B\left( {{x}_{2}};m+{{x}_{2}} \right)$

Ta có là 2 nghiệm của (1) nên theo Viet thì ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3-m$