Ta có $V=Sh\Rightarrow 314=\pi {{R}^{2}}.h\Rightarrow {{R}^{2}}.h=100$

Mặt khác ta có chi phí làm vỏ hộp là: $T=400{{S}_{xq}}+200{{S}_{d}}=400.2\pi Rh+200.2\pi {{R}^{2}}$

Khi đó: $T=400\pi (2Rh+{{R}^{2}})=400\pi (\frac{200}{R}+{{R}^{2}})$

Xét hàm số $F(R)=\frac{200}{R}+{{R}^{2}}=\frac{100}{R}+\frac{100}{R}+{{R}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{{{100}^{2}}}$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow {{R}^{3}}=100\Leftrightarrow R=\sqrt[3]{100}\,(cm)$.