Với hình vẽ trên giả sử $MC=x\left( bm \right)\Rightarrow 0\le x\le 10$ khi đó, $NC=10x\text{ }\left( km \right)$

Cách 1: Khi đó $AC=\sqrt{{{x}^{2}}+4};\,BC=\sqrt{{{(10-x)}^{2}}+9}$

Ta có$AC+BC=f(x)=\sqrt{{{x}^{2}}+4}+\sqrt{{{(10-x)}^{2}}+9}=\sqrt{{{x}^{2}}+4}+\sqrt{{{x}^{2}}-20x+109}$

Xét $f'(x)=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}+\frac{x-10}{\sqrt{{{x}^{2}}-20x+109}}=0\Leftrightarrow x\sqrt{{{x}^{2}}-20x+109}=(x-10)\sqrt{{{x}^{2}}+4}\Leftrightarrow x=4$

Mặt khác $f(0)=2+\sqrt{109};\,f(4)=5\sqrt{5};\,f(10)=3+\sqrt{104}$

Vậy $AC=\sqrt{A{{M}^{2}}+C{{M}^{2}}}=2\sqrt{5}\,(km)$

Chọn A.

Cách 2: $f(x)=\sqrt{{{x}^{2}}+4}+\sqrt{{{(10-x)}^{2}}+9}$. Đặt $\vec{u}=(a;b);\,\vec{v}=(c;d)$ thì ta có $\left| {\vec{u}} \right|+\left| {\vec{v}} \right|\ge \left| \vec{u}+\vec{v} \right|$

Do đó $\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\sqrt{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}\ge \sqrt{{{(a+b)}^{2}}+{{(b+d)}^{2}}}$dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \vec{u}=k\vec{v}\Leftrightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{d}$

Do vậy $f(x)=\sqrt{{{x}^{2}}+4}+\sqrt{{{(10-x)}^{2}}+9}\ge \sqrt{{{(x+10-x)}^{2}}+{{(2+3)}^{2}}}=5\sqrt{5}\Leftrightarrow \frac{x}{10-x}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow x=4$