$I=\int_{0}^{2}{\left( 2x+\ln \left( x+1 \right) \right)dx}=A+B$

Tính $A=\int_{0}^{2}{2xdx}=\left. {{x}^{2}} \right|_{0}^{2}=4$

Tính $B=\int_{0}^{2}{\left( \ln \left( x+1 \right) \right)}dx$

Xem: $\left\{ \begin{align}   & u=\ln \left( x+1 \right) \\  & dv=dx \\ \end{align} \right.$ ta chọn được $\left\{ \begin{align}  & du=\frac{dx}{x+1} \\  & v=x+1 \\ \end{align} \right.$

Dùng công thức tích phân từng phần

$B=\int_{0}^{2}{\left( \ln \left( x+1 \right) \right)dx}=\left. \left( x+1 \right).\ln \left( x+1 \right) \right|_{0}^{2}-\int_{0}^{2}{\frac{x+1}{x+1}dx}=\left. 3\ln 3-x \right|_{0}^{2}=3\ln 3-2$

Vậy: $I=\int_{0}^{2}{\left( 2x+\ln \left( x+1 \right) \right)}dx=3\ln 3+2$