Đặt $z=x+yi\left( x,y\in R \right)\to \overline{z}=x-yi\to -2\overline{z}=-2x+2yi$

Khi đó phương trình đã cho trở thành

$x+yi-2x+2yi=3+4i\leftrightarrow -x+3yi=3+4i\leftrightarrow \left\{ \begin{align}   & -x=3 \\  & 3y=4 \\ \end{align} \right.$$\leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x=-3 \\  & y=\frac{4}{3} \\ \end{align} \right.$

Vậy $z=-3+\frac{4}{3}i\to \left| z \right|=\sqrt{{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{\left( \frac{4}{3} \right)}^{2}}}=\sqrt{\frac{97}{9}}=\frac{\sqrt{97}}{3}$