Đường thẳng (d) đi qua $A\left( 0;2 \right)$ có phương trình là: $y=mx+2$.

Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{2x+1}{x-1}=mx+2\left( x\ne 2 \right)$

$\Leftrightarrow f\left( x \right)=m{{x}^{2}}-2mx-5=0$ ta có $\Delta '={{m}^{2}}+5m$. Để đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại 2 điểm thuộc 2 nhánh của đồ thị (C) thì: $\left\{ \begin{align}  & m\ne 0 \\  & {{m}^{2}}+5m>0 \\  & m.f\left( 2 \right)<0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m>0$.