Kẻ $SO\bot \left( ABC \right)$ và $OD,OE,OF$ lần lượt vuông góc với $BC,AC,AB$. Theo định lí ba đường vuông góc ta có $SD\bot BC,SE\bot AC,SF\bot AB$ (như hình vẽ).

Từ đó suy ra $\angle SDO=\angle SEO=\angle SFO={{60}^{0}}$. Do đó các tam giác vuông $SDO,SEO,SFO$ bằng nhau. Từ đó suy ra $OD=OE=OF$. Vậy O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Vì tam giác ABC cân tại A nên OA vừa là đường phân giác, vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến. Suy ra $A,O,D$ thẳng hàng và D là trung điểm của BC.

Suy ra $AD=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{D}^{2}}}=\sqrt{16{{a}^{2}}}=4a$.

Gọi p là nửa chu vi tam giác ABC, r là bán kính đường tròn nội tiếp của nó.

Khi đó ${{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}.6a.4a=12{{a}^{2}}=pr=8ar$.

Suy ra $r=\frac{3}{2}a$

Do đó $SO=OD.\tan {{60}^{0}}=\frac{3\sqrt{3}a}{2}$.

Vậy ${{V}_{S.ABC}}=6\sqrt{3}{{a}^{3}}$.