Phương trình hoành độ giao điểm là

${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx+1=x+1\leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+\left( m-1 \right)x=0\,\left( 1 \right)$. Để đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx+1$ cắt đường thẳng (d) tại ba điểm phân biệt thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt hay $x\left( {{x}^{2}}-3x+m-1 \right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt $\left( {{x}_{1}}=0 \right)$. Suy ra ${{x}^{2}}-3x+m-1=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0 hay $m\ne 1,m<\frac{13}{4}$

Theo hệ thức Vi-ét ta có: ${{x}_{2}}+{{x}_{2}}=3,\,{{x}_{2}}.{{x}_{3}}=m-1$

Từ đề bài ta có:

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\ge 1\leftrightarrow {{3}^{2}}-2\left( m-1 \right)\ge 1\to m\le 5$

Vậy $m\ne 1,m<\frac{13}{4}$ nên chọn A