Các mặt phẳng (P), (Q), (R) có vec-tơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{{{n}_{p}}}=\left( 1;3m;-1 \right)$, $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left( m;-1;1 \right)$, $\overrightarrow{{{n}_{R}}}=\left( 1;-1;-2 \right)$, khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) có vec-tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{{{n}_{p}}}\wedge \overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left( 3m-1;-m-1;-1-3{{m}^{2}} \right)$. Để giao tuyến hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với mặt phẳng (R) thì $\overrightarrow{u},\overrightarrow{{{n}_{R}}}$ cùng phương, suy ra $\frac{3m-1}{1}=\frac{-m-1}{-1}=\frac{-1-3{{m}^{2}}}{-2}\Leftrightarrow m=1$..