Vì $\left\{ \begin{align} & \left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right) \\ & \left( SAD \right)\bot \left( ABCD \right) \\ & SA=\left( SAB \right)\cap \left( SAD \right) \\ \end{align} \right.\to SA\bot \left( ABCD \right)$

Suy ra góc giữa SC và mặt đáy là góc SCA.

Theo bài ra góc đó bằng 45⁰ nên $SCA={{45}^{0}}$ suy ra $SA=AC=a\sqrt{2}$

Vậy ${{S}_{SABCD}}=\frac{1}{3}a\sqrt{2}.{{a}^{2}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$ nên Chọn D.