Ta có $y'=4m{{x}^{3}}+2\left( 2m+1 \right)x$

Xét trường hợp 1 : m = 0  hiển nhiên đúng

Xét trường hợp 2:

$m\ne 0$ ta có $y=m{{x}^{4}}+\left( 2m+1 \right){{x}^{2}}+1$ là hàm trùng phương. Để hàm số có 1 cực tiểu thì $m>0$ và phương trình $y'=0$ có nghiệm duy nhất. 

Xét $y'=0\leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=0 \\ & 2m{{x}^{2}}+2m+1=0\,\left( 1 \right) \\ \end{align} \right.$

Để phương trình $y'=0$ có nghiệm duy nhất thì phương trình (1) có nghiệm nghiệm bằng 0, hoặc vô nghiệm. Suy ra $m>0$ thì phương trình (1) vô nghiệm. Tuy nhiên nếu làm đến đây các em chọn A sẽ là sai lầm, vì lời giải trên mới chỉ xét trường hợp có hàm có duy nhất 1 cực tiểu. 1 cực tiểu cũng còn trường hợp nữa là 1 cực tiểu và 2 cực đại hay phương trình (1) có 2 phân biệt khác 0 hay $\frac{-2m-1}{2m}>0\leftrightarrow \frac{-1}{2}

Kết hợp cả 2 trường hợp ta có $m>-\frac{1}{2}$ nên chọn D.