Phương trình hoành độ giao điểm của $y=\frac{x+2}{2x+1}$ và $y=mx+m-1$ là

$\frac{x+2}{2x+1}=mx+m-1\leftrightarrow 2m{{x}^{2}}+\left( 3m-3 \right)x+m-3=0$

Gọi ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ lần lượt là nghiệm của phương trình. Theo hệ thức Vi-et ta có $\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{3-3m}{2m} \\  & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{m-3}{2m} \\ \end{align} \right.$

Điều kiện để phương trình bậc 2 trên có 2 nghiệm phân biệt và khác $\frac{-1}{2}$ là

$\left\{ \begin{align} & m\ne 0 \\ & {{\left( 3m-3 \right)}^{2}}-4.2m.\left( m-3 \right)>0 \\ & 2m.\frac{1}{4}-\frac{1}{2}.\left( 3m-3 \right)+m-3\ne 0 \\ \end{align} \right.$$\to \left\{ \begin{align} & m\ne 0 \\ & m\ne -3 \\ \end{align} \right.$

Điều kiện để 2 giao điểm cùng thuộc 1 nhánh là $\left( {{x}_{1}}+\frac{1}{2} \right)\left( {{x}_{2}}+\frac{1}{2} \right)>0$

Hay ${{x}_{1}}{{x}_{2}}+\frac{1}{2}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+\frac{1}{4}>0\to m<0$

Vậy điều kiện m thỏa mãn yêu cầu bài toán là $\left\{ \begin{align} & m<0 \\ & m\ne -3 \\ \end{align} \right.$ nên chọn A.