Gọi cạnh đáy của lăng trụ là a, chiều cao lăng trụ là h.

Theo bài ra ta có $V=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.h\to h=\frac{4V}{{{a}^{2}}\sqrt{3}}$

Diện tích toàn phần của lăng trụ là

${{S}_{toan\,\,phan}}={{S}_{2\,\,day}}+{{S}_{xung\,\,quanh}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}+3a.\frac{4V}{{{a}^{2}}\sqrt{3}}$

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có

${{S}_{toan\,\,phan}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}+\frac{4\sqrt{3}V}{a}$

$=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}+\frac{2\sqrt{3}V}{a}+\frac{2\sqrt{3}V}{a}\ge 3\sqrt[3]{\frac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}.\frac{2\sqrt{3}V}{a}.\frac{2\sqrt{3}V}{a}}$

Dấu bằng xảy ra khi $\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}V}{a}=\frac{2\sqrt{3}V}{a}$ hay $a=\sqrt[3]{4V}$. Chọn A

Nhận xét: Bài trên các em phải vận dụng linh hoạt bất đẳng thức AM-GM thì mới tìm được giá trị nhỏ nhất của diện tích xung quanh của hình lăng trụ sau đó dựa vào điều kiện xảy ra dấu bằng để tìm cạnh đáy của hình lăng trụ.