Nhận thấy đồ thị hàm số $y=\frac{x-1}{m{{x}^{2}}-2x+3}$ có 3 đường tiệm cận khi hàm số đã cho có $\ne 0$dạng bậc nhất trên bậc 2 hay $m\ne 0$ (khi $m=0$ thì hàm số $y=\frac{x-1}{-2x+3}$ có 2 tiệm cận đứng và tiệm cận ngang)

Điều kiện để đồ thị hàm số $y=\frac{x-1}{m{{x}^{2}}-2x+3}$ có 3 tiệm cận là $m{{x}^{2}}-2x+3=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 1 tức là $\Delta ={{b}^{2}}-4ac=4-12m>0$ và $m+1\ne 0$ hay $m<\frac{1}{3}$ và $m\ne -1$.

Vậy $\left\{ \begin{align} & m\ne -1 \\ & m\ne 0 \\ & m<\frac{1}{3} \\ \end{align} \right.$ thỏa mãn yêu cầu bài ra