$y=x-5+\frac{1}{x}\Rightarrow y'=1-\frac{1}{{{x}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}}\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-1\left( L \right) \\ & x=1 \\ \end{align} \right.$

Ta có: $f\left( 1 \right)=-3;f\left( \frac{1}{2} \right)=-\frac{5}{2};f\left( 5 \right)=\frac{1}{5}$

Vậy GTNN của hàm số bằng $-3\Rightarrow C$

Cách giải khác: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:  $y=x+\frac{1}{x}-5\ge 2\sqrt{x.\frac{1}{x}}-5=-3$