$y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x+1\,\Rightarrow y'={{x}^{2}}-4x+3$

Đường thẳng $y=3x+1$ có hệ số góc là 3

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng $y=3x+1$ nên $y'\left( x \right)=3\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=4 \\ \end{align} \right.$

$x=0\Rightarrow y=1$ suy ra phương trình tiếp tuyến: $y=3x+1$

$x=4\Rightarrow y=\frac{7}{3}\Rightarrow $ phương trình tiếp tuyến:   $y=3x-\frac{29}{3}$

Thử lại, ta được $y=3x-\frac{29}{3}$ thỏa yêu cầu bài toán