Ta có: $d:y=-\frac{1}{3}x-\frac{m}{3}$

Hoành độ giao điểm của d và (H) là nghiệm của phương trình

$\frac{2x-3}{x-1}=-\frac{1}{3}x-\frac{m}{3}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+\left( m+5 \right)x-m-9=0,x\ne 1\,\,\left( 1 \right)$

Ta có: $\Delta ={{\left( m+7 \right)}^{2}}+12>0,\,\forall m.\,M\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),N\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$

Ta có: $\overrightarrow{AM}=\left( {{x}_{1}}-1;{{y}_{1}} \right),\overrightarrow{AN}=\left( {{x}_{2}}-1;{{y}_{2}} \right)$. Tam giác AMN vuông tại A

$\begin{align} & \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AN}=0 \\ & \Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}-1 \right)\left( {{x}_{2}}-1 \right)+{{y}_{1}}{{y}_{2}}=0 \\ & \Leftrightarrow 10{{x}_{1}}{{x}_{2}}+\left( m-9 \right)\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+{{m}^{2}}+9=0.\,\left( 2 \right) \\ \end{align}$

Áp dụng định lý Viet, ta có  ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-m-5,\,{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-m-9$

$10\left( -m-9 \right)+\left( m-9 \right)\left( -m-5 \right)+{{m}^{2}}+9=0\Leftrightarrow -6m-36=0\Leftrightarrow m=-6$